| 整数パズル集 |
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| 問題 |
| 正の約数のうち6個が奇数で他12個が偶数である自然数で最小のものを求めよ。 |
| 解答概要 |
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求める自然数を m とする。偶数の約数を持つので、mは偶数である。 d が m の約数であるなら m/d も m の約数である。 以上から、(d, m/d) のうち片方のみが奇数であるものがちょうど6組、 どちらも偶数になるものがちょうど3組存在する。 したがって、これは4の倍数となる。 ゆえに、素因数分解すると、m = 2^a ・ p^b ・ q^c ・… ただし、a は2以上の自然数、b,c,…は1以上の自然数、p,q,…は3以上の異なる素数である。 約数の数は、(a+1)(b+1)(c+1)…=18 a>=3 の場合、成立しない。(証明は略) よって a=2 したがって (b+1)(c+1)…=6=2x3 (b,c) = (2,1) or (1,2) ゆえに、m = 4 ・ p^2 ・ q これを最小にする p,q はそれぞれ 3,5 で m = 180 |
| 問題 |
| 9 x 99 x 999 x…x 9…9(999桁すべて9の数)を1000で割った余りを求めよ |
| 解答概要 |
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9 x 99 x 999 x…x 9…9(999桁すべて9の数) を1000で割った余り ＝ 9 x 99 x 999 x…x 9…9(998桁すべて9の数) x (10^999 -1) を1000で割った余り ＝ 9 x 99 x 999 x…x 9…9(998桁すべて9の数) x (-1) を1000で割った余り ＝ 9 x 99 x 999 x…x 9…9(997桁すべて9の数) x (-10^999 +1) を1000で割った余り ＝ 9 x 99 x 999 x…x 9…9(997桁すべて9の数) を1000で割った余り これを繰り返すと ＝ 9 x 99 x 999 を1000で割った余り これくらいなら計算できて、109余る。 |
| 問題【自作】 |
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1から9までのカードが1枚ずつあり、A、B、Cに3枚ずつ配った 彼らはそれぞれ3桁の数を作り、それぞれ数の特徴を呟いた A この数は素数で、各桁を掛け合わせると224になる B この数は25で割りきれる C この数は正の約数をちょうど9個もつ偶数だ A、B、Cの作った数はそれぞれ何か |
| 解答概要 |
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224=4*7*8なので4,7,8を持っている。 また、これは素数であるから、一の位は7である。 847は7で割り切れるので、Aが作ったのは487。 続いてBの数だが、各桁に0は含まれないし、7はAが持っているので 下2桁は25である。 残る 1,3,6,9 でCの数を考える。その一の位は6に限られる。 約数が奇数個なので、これは平方数である。 平方数は196(14の2乗)しか作れない。よってCが作ったのは196． したがってBは325を作った。 |
| 問題【自作】 |
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5人に同じ3桁の数を見せて、その特徴を言ってもらいました。 A「各桁の和は14だった」 B「7の倍数だった」 C「素因数はちょうど3個だった」 D「10で割りきれた」 E「一の位と十の位は同じだった」 ただし、一人だけ嘘をついている。さて、この数とは… |
| 解答概要 |
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B,C,Dを同時に満たすと仮定すると、数は一意に2*5*7=70となる。 これは2桁なので、いずれかが嘘をついている。 つまるAとEは正しい。 Dが正しいと仮定すると、Eの発言より、これは100の倍数である。 しかし、これはAの正しい発言と矛盾する。したがって、Dは嘘である。 AとEの発言から、833, 455, 266 なんとこれらはすべてBとCを満たす。 |
| 問題【自作】 |
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1から9までのカードが1枚ずつあり、A、B、Cに3枚ずつ配った 彼らはそれぞれ3桁の数を作り、それぞれ数の特徴を呟いた A どうしても6の倍数になってしまうので、一番大きな数を作った B この数は素数で、百の位と一の位を入れ替えると103で割り切れる C この数に1を足せば、3でちょうど3回割り切れる A、B、Cの作った数はそれぞれ何か |
| 解答概要 |
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未公開です |